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FILMEDOVER #5 from kid limbo on Vimeo.

La notación bra-ket,^1 2 también conocida como notación de Dirac, es la notación estándar para describir los estados cuánticos en la teoría de la mecánica cuántica. Puede también ser utilizada para denotar vectores abstractos y funcionales lineales en las matemáticas puras. Es así llamada porque el producto interior de dos estados es denotado por el "paréntesis angular" (angle bracket, en inglés), ⟨ϕ|ψ⟩, consistiendo en una parte izquierda, ⟨ϕ|, llamada el bra, y una parte derecha, |ψ⟩, llamada el ket.²

La notación fue introducida en 1939 por Paul Dirac Paul Dirac³ , aunque la notación tiene precursores en el uso del lingüista y matemático alemán Hermann Grassmann de la notación [φ|ψ] para sus productos internos casi 100 años antes.

Se define el conmutador de dos operadores lineales  y , definidos sobre un mismo domino denso de cierto espacio de Hilbert, como un nuevo operador definido por la diferencia del producto de operadores:

Los conmutadores tienen gran importancia en la definición de las álgebras de Lie y la mecánica cuántica, así como en el formalismo más actual de la geometría diferencial, ya que son la imagen algebraica de las transformaciones infinitesimales multiparamétricas en una variedad diferenciable. La clave de esto es que son operadores que satisfacen una misma relación algebraica que las derivadas, que es una relación a tres variables conocida como identidad de Jacobi.